Định lý bất toàn của Kurt Godel Xin chào mọi người, hôm nay mình xin gửi đến các bạn một chút kiến thức mới…
Xin chào mọi người, hôm nay mình xin gửi đến các bạn một chút kiến thức mới mẻ hay ho, được gọi là Định lý bất toàn. Cũng tương tự như Thuyết kiểm sai của Karl Popper, Định lý bất toàn của Kurt Godel là một kiến thức rất thú vị và có thể nói là khá quan trọng đối với toán học nói riêng và nhiều phân ngành khác như khoa học, triết học, ngôn ngữ. Và cũng như Thuyết kiểm sai, vì những lý do thần bí nào đó mà Định lý này không được phổ biến rộng rãi, thậm chí là bị phủ nhận gây gắt bởi giới học thuật. Đó cũng là lý do mình muốn chia sẻ nó đến mọi người.
*Lưu ý trước khi đọc: đây là bài viết mình tổng hợp từ nhiều nguồn (các nguồn sẽ được trích dẫn ở cuối bài) kèm với một số nhận định của riêng mình. Nó mang giá trị tham khảo (đọc chơi ^^) hơn là nghiên cứu. Nếu có chỗ nào thiếu sót mọi người có thể đóng góp bổ sung và rộng lòng bỏ qua. Bên cạnh đó, do mình không phải chuyên toán nên những thông tin và minh họa được dùng theo hướng triết học và ngôn ngữ. Mình cũng tìm thấy một bài viết chứng minh Định lý bất toàn theo hướng toán học, các bạn có thể tham khảo thêm.
OK! Bắt đầu nào.
Năm 1930, Kurt Godel gây sốc cho toàn bộ giới toán học khi công bố hai định luật về sự bất toàn. Những định luật này đã vén lên sự thật nền tảng về bản chất của toán học, những sự thật mà đại đa số giới toán học thậm chí đến ngày nay vẫn không thể chấp nhận. Định luật này đã dội một gáo nước lạnh vào mong muốn tối thượng tìm ra một “lý thuyết về vạn vật” (The theory of everything) – thứ đang ngày càng thịnh hành trong ngành vật lý lý thuyết đương thời. Định luật của Godel ngụ ý rằng mọi lý thuyết khoa học đều không hoàn thiện.
Trước khi đi sâu vào nội dung của hai định lý, chúng ta hãy điểm qua một vài định nghĩa đơn giản và trực quan cần thiết giúp các bạn hiểu được những phần sau của bài viết.
Một hệ thống toán học là một tập hợp của một số thành phần cơ bản (như các con số), một số mối quan hệ/phép toán liên quan đến các thành phần này (cộng, trừ,...), và cuối cùng là một số tiên đề (axiom) – tức những mệnh đề liên quan đến các phần tử và phép toán mà ta cho là đúng nhưng không cần bằng chứng (ví dụ như sự đối xứng trong đẳng thức nếu x=y thì y=x).Một hệ thống toán học được đánh giá là hoàn chỉnh nếu các mệnh đề trong đó đều được chứng minh.
Cuối cùng, một hệ thống toán học được xem là nhất quán nếu ta không thể chứng minh điều ngược lại trong những mệnh đề đã được chứng minh. Ví dụ, nếu ta đã chứng minh được rằng tổng hai số lẻ luôn là một số chẵn, thì ta không thể chứng minh được rằng nó không chẵn. Điều quan trọng nhất đối với một hệ thống toán học là tính nhất quán. Nếu không thì nó sẽ tự mâu thuẫn với chính nó (khi đó mọi phát biểu đúng cũng đồng thời sai, khiến nó lâm vào “điểm bùng nổ” (the principle of explosion)), và trở nên vô dụng.
Để có thể thực sự hiểu về Định lý Bất toàn của Gödel, chúng ta cần có những hiểu biết chuyên sâu về toán học, đủ để nhìn thấy được bức tranh toàn cảnh và nhận ra vị trí của Định lý bất toàn trong đó. Ngay cả với những người theo sự nghiệp toán học chuyên nghiệp, số lần họ làm việc nghiêm túc với Định lý này cũng rất hiếm, dù cho đây được xem là một trong những tuyên bố quan trọng nhất ảnh hưởng đến toán học hậu thế kỷ XX và logic học hiện đại.
Vì vậy, những diễn giải sau đây sẽ cố gắng để đem lại hiểu biết cho độc giả đại chúng, không nhất thiết đề cập một cách chính xác (theo định nghĩa của toán học) về Định lý này, do đó không có giá trị tham khảo với các mục đích học thuật chuyên nghiệp.
Đây là tất cả mọi thứ ta cần để nắm bắt được tư tưởng của Godel. Giờ ta đã sẵn sàng để đi sâu vào định lý bất toàn của Godel.
Định lý Bất toàn của Gödel nói rằng: “Bất kỳ lý thuyết nào được tạo ra một cách hiệu quả đủ khả năng biểu diễn số học sơ cấp đều không thể vừa nhất quán vừa đầy đủ. Đặc biệt, đối với bất kỳ lý thuyết hình thức nào nhất quán, được tạo ra một cách hiệu quả cho phép chứng minh một số chân lý số học căn bản, sẽ có một mệnh đề số học đúng nhưng không thể chứng minh trong lý thuyết ấy.”
Diễn giải ngắn gọn thì nó có thể được chia làm 2 phần:Định luật 1:“Mọi hệ thống toán học đủ mạnh để mô tả sự tính toán thì đều không đầy đủ hoặc không nhất quán.”Định luật 2:“Một định luật toán học nhất quán thì không thể chứng minh tính nhất quán của chính nó”Hoặc:(1) Một hệ nhất quán thì không thể đầy đủ và ngược lại
(2) Một hệ đầy đủ thì sẽ bao gồm cả tuyên bố rằng hệ đó là nhất quán, nhưng sẽ không thể chứng minh được tuyên bố đó nếu hệ thực sự nhất quán.
Bây giờ ta hãy thử xem xét một chút.
Đầu tiên, “đủ mạnh để mô tả sự tính toán” – hay “đủ khả năng diễn đạt” – nói một cách dễ hiểu là vậy. Hãy nói một cách dễ hiểu hơn, là đa phần những hệ thống toán học mà những người không thuộc giới toán học như chúng ta thường quan tâm đến đều mang tính chất này. Chúng ta sẽ không đào quá sâu vào vấn đề bởi nó không thật sự quan trọng với thông tin ta cần tìm hiểu.Với nhận xét trên, định lý đầu tiên cho ta biết rằng mọi hệ thống mà chúng ta sử dụng đều không đầy đủ hoặc không nhất quán. Nghĩa là, trong những mệnh đề của chúng ta có những sự thật mà ta sẽ không bao giờ chứng minh được hoặc sẽ khiến mệnh đề đó tự sụp đổ (do không nhất quán). Như đã nói, chúng ta không muốn hệ thống của mình bị thiếu nhất quán nên chỉ còn nước “hy vọng” là nó chưa hoàn thiện. Ta muốn có một cách để chứng minh rằng hệ thống của ta chỉ là chưa hoàn thiện và không phải thiếu nhất quán, nhưng định lý số 2 của Godel sẽ ngay lập tức nhập cuộc và tước bỏ luôn hy vọng đó.
Điều đó nghĩa là ta thừa nhận rằng có những sự thật nền tảng sâu thẳm về toán học và vũ trụ nói chung, mà ta sẽ không bao giờ tìm ra được. Và cho dù thêm vào nhiều tiên đề hơn nữa thì cũng chẳng ích bởi ta sẽ tạo thêm một hệ thống mới hoàn toàn và vẫn lọt vào cái hố của hai định lý bất toàn. Không còn cách nào khác. Hoặc ta có thể hiểu như sau:
Giả sử ta có thể gom một hệ thống hay kiến thức nào đó lại và vẽ biên giới cho nó - hay một vòng tròn, thì bản thân cái vòng tròn đó sẽ không thể giải thích được chính nó nếu không tham chiếu từ một cái gì bên ngoài nó - một vòng tròn lớn hơn - và cái vòng tròn lớn hơn này mang tính chất một cái gì đó ta phải thừa nhận là đúng nhưng không thể chứng minh.
“Bất cứ điều gì mà bạn có thể vẽ một vòng tròn bao quanh nó sẽ không thể tự giải thích về bản thân nó mà không tham chiếu đến một cái gì đó ở bên ngoài vòng tròn – một cái gì đó mà bạn phải thừa nhận là đúng nhưng không thể chứng minh.”
Từ phát biểu trên ta có thể nhìn ra giá trị của Định lý bất toàn rằng:
Đức tin và Lý lẽ không phải là kẻ thù của nhau: thực ra điều ngược lại mới đúng! Cái này nhất thiết cần cái kia để tồn tại. Mọi lý lẽ rốt cuộc đều quay trở lại niềm tin vào một cái gì đó mà bạn không thể chứng minh.
Mọi hệ thống đóng kín đều phụ thuộc vào một cái gì đó ở bên ngoài hệ thống.
Bạn luôn luôn có thể vẽ một vòng tròn lớn hơn nhưng sẽ luôn luôn tồn tại một cái gì đó bên ngoài vòng tròn.
Lý lẽ hướng từ một vòng tròn lớn hơn vào một vòng tròn nhỏ hơn là “lý lẽ suy diễn” (deductive reasoning). Thí dụ:1. Mọi người đều sẽ chết.2. Socrates là một con người.3. Vậy Socrates sẽ chết.
Lý lẽ hướng từ một vòng tròn nhỏ hơn ra một vòng tròn lớn hơn là “lý lẽ quy nạp”. Thí dụ:1. Khi tôi thả đồ vật ra, chúng sẽ rơi.2. Do đó tồn tại một định luật về hấp dẫn chi phối mọi vật thể rơi.Chú ý rằng khi bạn chuyển từ vòng tròn nhỏ hơn ra vòng tròn lớn hơn, bạn phải thừa nhận rằng bạn không thể chứng minh 100%.Chẳng hạn bạn không thể CHỨNG MINH lực hấp dẫn luôn luôn tồn tại vào mọi lúc. Bạn chỉ có thể nhận thấy lực hấp dẫn tồn tại vào mỗi lcc bạn quan sát. Bạn không thể CHỨNG MINH vũ trụ là hợp lý (rational, tuân thủ những quy luật nhất định). Bạn chỉ có thể nhận thấy các công thức toán học, như E = mc2 chẳng hạn, dường như mô tả một cách hoàn hảo cái mà vũ trụ tiến hành.
Gần như mọi định luật khoa học đều dựa trên lý lẽ quy nạp. Những định luật này đều dựa trên một giả định cho rằng vũ trụ là logic và dựa trên những định luật cố định có thể khám phá ra.
Bạn không thể CHỨNG MINH giả định đó ( Bạn không thể chứng minh mặt trời sẽ mọc vào buổi sớm mai). Thực ra bạn phải chấp nhận điều đó bằng niềm tin. Khoa học được xây dựng trên những giả định triết học mà bạn không thể chứng minh bằng khoa học. Thật vậy, phương pháp khoa học không thể chứng minh, nó chỉ có thể gợi ý, phỏng đoán (Khoa học xuất phát từ tư tưởng nguyên thủy rằng Chúa tạo ra một vũ trụ có trật tự tuân thủ các định luật cố định có thể khám phá được).
Ý nghĩa triết học của định lý bất toàn là rất lớn. Có thể nói chưa có một định lý nào lại gây ra sự hỗn loạn lớn như định lý bất toàn của Godel ngay khi nó vừa được công bố. Những nhà toán học dành cả đời theo đuổi tìm cách chứng minh một mệnh đề toán học nào đó giờ đây phải đối mặt với khả năng rằng cả cuộc đời của họ là vô ích. Một câu hỏi giờ đây sẽ ám ảnh mỗi nhà nhà toán học khi bắt tay vào giải quyết một bài toán mới rằng: “nếu nó không thể được chứng minh thì sao?”
Kurt Godel được nhiều người đánh là nhà logic học vĩ đại nhất thời đại của ông. Như đã nói, những đóng góp của ông cho toán học là vô giá. Trớ trêu thay, dù có thể được so sánh ngang hàng với Albert Einstein, nhưng sự thật là vẫn có rất ít người biết đến Godel hay Định lý bất toàn. Có lẽ một phần bởi nó như một đòn giáng rất mạnh vào niềm tin với cái gọi là chân lý của logic và khiến mọi người nhận ra rằng - chân lý thì quá nhiều, mà thứ con người có thể chứng thì quá ít và logic thì thật ra vẫn còn quá yếu.
Nguồn tham khảo:
- chứng minh toán học của Định lý bất toàn
Cr: Sodom